1. $\LA$

若存在平稳分布 $\bm \pi$, 则 $\bm \pi = \bm \pi \bm P^n$, 即 $\pi_j = \dsum_{i \in S} \pi_i p_{ij}^{(n)}$, 由控制收敛定理, 极限号与求和号可交换, 于是

由于 $\dsum_{j \in S} \pi_j = \sum_{j \in S} \dfrac{1}{\mu_j} = 1$, 于是至少存在一个 $\pi_l= \dfrac{1}{\mu_l} > 0$, 从而 $\nlim p_{il}^{(n)} = \dfrac{1}{\mu_l} > 0$,

于是 $l$ 正常返. 由不可约性知, 整个链都是正常返的, 且 $\forall j \in S: \pi_j = \dfrac{1}{\mu_j} > 0$.

2. $\RA$

由定理 3.5.6 即得. 证毕.